সমতলীয় ভেক্টরের মূল ধারণা

সহজ কথায়, তিনটি ভেক্টরকে সমতলীয় বলা হবে যদি তারা সবাই একই সমতলের উপর অবস্থান করে।

একটি উদাহরণ দিয়ে ভাবা যাক:

মনে করো, তোমার টেবিলের উপর তুমি দুটি কলম ($\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$) রাখলে। এই দুটি কলম সবসময়ই একটি সমতল (তোমার টেবিলের পৃষ্ঠ) তৈরি করতে পারে।

এখন, তুমি তৃতীয় আরেকটি কলম ($\overrightarrow{C}$) আনলে।

• যদি তুমি তৃতীয় কলমটিকেও টেবিলের উপর পুরোপুরি শুইয়ে রাখতে পারো, তাহলে তিনটি কলমই একই সমতলে (টেবিলের পৃষ্ঠে) থাকল। এক্ষেত্রে, ভেক্টর তিনটি সমতলীয় (coplanar)।
• কিন্তু যদি তৃতীয় কলমটি টেবিলের উপর থেকে উপরের দিকে বা নিচের দিকে খাড়া হয়ে থাকে, তাহলে সেটি আর ওই দুটি কলমের সমতলে থাকল না। এক্ষেত্রে, ভেক্টর তিনটি অসমতলীয় (non-coplanar)।

অর্থাৎ, দুটি ভেক্টর সবসময়ই সমতলীয়। তৃতীয় ভেক্টরটিই নির্ধারণ করে যে তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হবে কি না।

গাণিতিকভাবে কীভাবে বুঝব?

গাণিতিকভাবে তিনটি ভেক্টর সমতলীয় কি না, তা পরীক্ষা করার দুটি প্রধান উপায় আছে।

১. স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট বা বক্স প্রোডাক্ট (Scalar Triple Product)

এটিই সবচেয়ে জনপ্রিয় এবং সহজ পদ্ধতি।

ধারণাটি কী?

তিনটি ভেক্টর $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B},$ এবং $\overrightarrow{C}$ যদি অসমতলীয় হয়, তাহলে তারা মিলে একটি প্যারালালিপাইপড (Parallelepiped) বা আয়তাকার ঘনবস্তুর মতো একটি ত্রিমাত্রিক আকৃতি তৈরি করে (ঘন সামান্তরিক বলা যেতে পারে), যার একটি নির্দিষ্ট আয়তন (volume) থাকে।

এই আয়তনটি পরিমাপ করা হয় স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট দিয়ে, যার মান হলো $\overrightarrow{A}\cdot (\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{C})$।

• যদি ভেক্টর তিনটি অসমতলীয় হয়, তবে তাদের দ্বারা তৈরি ঘনবস্তুটির আয়তন থাকবে। অর্থাৎ, $\overrightarrow{A}\cdot (\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{C})\ne 0$।
• আর যদি ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হয়, তাহলে তারা কোনো ত্রিমatrixক বস্তু তৈরি করতে পারে না। বস্তুটি চ্যাপ্টা হয়ে যায়, যার আয়তন শূন্য।

সুতরাং, তিনটি ভেক্টর $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B},$ এবং $\overrightarrow{C}$ সমতলীয় হওয়ার প্রধান শর্ত হলো:

$\overrightarrow{A}\cdot (\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{C})=0$

কীভাবে গণনা করব?

যদি ভেক্টর তিনটি উপাংশে দেওয়া থাকে:

$\overrightarrow{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}$

$\overrightarrow{B}=B_x\hat{i}+B_y\hat{j}+B_z\hat{k}$

$\overrightarrow{C}=C_x\hat{i}+C_y\hat{j}+C_z\hat{k}$

তাহলে তাদের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট একটি নির্ণায়ক (determinant) ব্যবহার করে সহজেই বের করা যায়:

$\overrightarrow{A}\cdot (\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{C})=\left|\begin{array}{ccc}{A}_x& A_y& A_z\\ B_x& B_y& B_z\\ C_x& C_y& C_z\end{array}\right|$

এই নির্ণায়কের মান যদি শূন্য হয়, তবে ভেক্টর তিনটি সমতলীয়।

উদাহরণ:

ধরা যাক, $\overrightarrow{A}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k},\overrightarrow{B}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k},এবং\overrightarrow{C}=3\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$।

এরা কি সমতলীয়?

$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 1\\ 3& 3& 4\end{array}\right|=1(4\cdot 1-1\cdot 3)-2(4\cdot 2-1\cdot 3)+3(3\cdot 2-1\cdot 3)$

$=1(4-3)-2(8-3)+3(6-3)$

$=1(1)-2(5)+3(3)$

$=1-10+9$

$=0$

যেহেতু নির্ণায়কের মান শূন্য, তাই ভেক্টর তিনটি সমতলীয়।

২. রৈখিক নির্ভরশীলতা (Linear Dependence)

এটি সমতলীয়তা বোঝার আরেকটি গভীর উপায়।

ধারণাটি কী?

যদি তিনটি ভেক্টরের মধ্যে যেকোনো একটিকে বাকি দুটির যোগফল বা বিয়োগফলের (বা তাদের স্কেলার গুণিতকের যোগফলের) মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়, তবে তারা রৈখিকভাবে নির্ভরশীল (linearly dependent)।

যদি তিনটি ভেক্টর $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B},$ এবং $\overrightarrow{C}$ সমতলীয় হয়, তাহলে $\overrightarrow{C}$ ভেক্টরটিকে $\overrightarrow{A}$ এবং $\overrightarrow{B}$ ভেক্টরের সমতলেই থাকতে হবে। এর মানে হলো, $\overrightarrow{A}$ বরাবর কিছুদূর এবং $\overrightarrow{B}$ বরাবর কিছুদূর গেলেই $\overrightarrow{C}$ ভেক্টরের মাথায় পৌঁছানো সম্ভব।

গাণিতিকভাবে, যদি তুমি এমন দুটি স্কেলার x এবং y খুঁজে পাও যেন নিচের শর্তটি পূরণ হয়, তবে ভেক্টর তিনটি সমতলীয়:

$\overrightarrow{C}=x\overrightarrow{A}+y\overrightarrow{B}$

উপরের উদাহরণে খেয়াল করলে দেখবে:

$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})+(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=3\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}=\overrightarrow{C}$

এখানে $x=1$ এবং $y=1$। যেহেতু একটি ভেক্টরকে বাকি দুটির যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যাচ্ছে, তাই তারা সমতলীয়।

সারসংক্ষেপ

তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হবে যদি:

1. তাদের দ্বারা গঠিত প্যারালালিপাইপড-এর আয়তন শূন্য হয়।
2. তাদের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্টের মান শূন্য হয়: $\overrightarrow{A}\cdot (\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{C})=0$।
3. তাদের উপাংশগুলো দিয়ে গঠিত নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
4. তারা একে অপরের উপর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয় (অর্থাৎ, একটি ভেক্টরকে অন্য দুটির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়)।