লব্ধির বিশেষ ক্ষেত্রসমূহ

লব্ধির সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মান ডিপেন্ড করে Cosα এর মানের উপর

Case-1: লব্ধির মান সর্বনিম্ন হয় যখন 𝛼=180° হয়

Cos𝛼 এর মান সর্বনিম্ন হতে পারে -1, যখন 𝛼=180° হয়।

এক্ষেত্রে,

$R_{min}=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos {180}^{\circ }}$
$R_{min}=\sqrt{P^2+Q^2-2PQ}$
$R_{min}=\sqrt{(P-Q{)}^2}$
$R_{min}=P\sim Q$

এখানে $\sim$ চিহ্ন এর মানে বড় ভেক্টর থেকে ছোটো বিয়োগ করতে হবে।

আরও লক্ষণীয় যে, $P=Q$ হলে, $R=0$ হয়।

Case-2: লব্ধির মান সর্বোচ্চ হয় যখন 𝛼=0° হয়

Cos𝛼 এর মান সর্বোচ্চ হতে পারে 1, যখন 𝛼=0° হয়

এক্ষেত্রে,

$R_{max}=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos 0^{\circ }}$
$R_{max}=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ}$
$R_{max}=\sqrt{(P+Q{)}^2}$
$R_{max}=P+Q$

এখানে $P=Q$ হলে, $R_{max}=2P$ বা $2Q$ হয়।

Case-3: ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 𝛼=120° হলে

$R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos {120}^{\circ }}$
$R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\times (-\frac{1}{2})}$
$R=\sqrt{P^2+Q^2-PQ}$

এখানে আবার যদি $\overrightarrow{P}=\overrightarrow{Q}$ হয়, অর্থাৎ সমান
ভেক্টর হয় তখন,

$R=\sqrt{P^2+Q^2-P^2}$
$R=P$ বা $R=Q$

Case-4: ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 𝛼=90° হলে

$R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos {90}^{\circ }}$
$R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\times 0}$
$R=\sqrt{P^2+Q^2}$

এখানেও যদি $\overrightarrow{P}=\overrightarrow{Q}$ হয়, অর্থাৎ সমান ভেক্টর হয় তখন,

$R=\sqrt{P^2+P^2}$
$R=\sqrt{2}P$ বা $R=\sqrt{2}Q$

কোণ বাড়লে বা কমলে লব্ধির মান বাড়ে নাকি কমে?

এজন্যেই তো কোণ 𝛼=180° হলে দুটি সমান ও বিপরীতমূখী ভেক্টর পরস্পর মারামারী করে একে অপরকে নিষ্ক্রিয় করে দেয়। অর্থাৎ P=Q হলে, R=0 হয়

আবার 𝛼=0° হলে দুটি সমান ও একমূখী ভেক্টর পরস্পর হাতে হাত লাগিয়ে কাজ করে। অর্থাৎ P=Q হলে, R=2P বা 2Q হয়

দুটি ভেক্টরের মান সমান হলে লব্ধি কোনদিকে যায়?

দুটি ভেক্টর সমান হলে, অর্থাৎ P=Q হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ 𝛼 কে লব্ধির কোণ θ সমদ্বিখন্ডিত করে। অর্থাৎ লব্ধি দুইজনের ঠিক মাঝ বরাবর থাকে।

লব্ধি সবসময় বড় ভেক্টরটার দিকে হেলে থাকে। নিচের ছবিতে $\overrightarrow{P}$ > $\overrightarrow{Q}$ এর জন্য লব্ধি ভেক্টরের কোণ দেখানো হয়েছে।

🤔Think:
লাগেজের হ্যান্ডেল ধরে যখন সামনের দিকে টেনে নিয়ে যাওয়া হয় তখন এর হ্যান্ডেলের পজিশনটা সম্পর্কে একবার ভেবে দেখো।

Demo Questions

১। দুটি ভেক্টরের মান যথাক্রমে 22 একক এবং 10 একক। এরা পরস্পর 60°কোনে ক্রিয়া করলে এদের লব্ধি কত হবে?

২। দুটি ভেক্টরের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন লব্ধি যথাক্রমে 28 একক এবং 4 একক। এরা পরস্পর 90° কোণে ক্রিয়া করলে এদের লব্ধির মান কত হবে?

৩। ভেক্টর $\overrightarrow{B}$ কে $\overrightarrow{A}$ এর সাথে যোগ করলে $6\hat{i}+\hat{j}$ এবং ভেক্টর $\overrightarrow{A}$ থেকে বিয়োগ করলে $-4\hat{i}+7\hat{j}$ হয়। $\overrightarrow{B}$ ও $\overrightarrow{A}$ এবং তাদের মান কত হবে?

৪। যদি $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}$ হয় তবে কোন শর্তে ${\displaystyle P^2+Q^2=R^2}$ হবে?

৫। যদি $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=\overrightarrow{C}$ হয়, তবে কোন শর্তসাপেক্ষে $A+B=C$ হবে?

৬। $2\overrightarrow{A}$ এবং $\overrightarrow{A}$ ভেক্টরদ্বয় পরস্পরের সাথে একটি নির্দিষ্ট কোণে আনত। প্রথম ভেক্টরকে দ্বিগুণ করলে লব্ধির মান তিনগুণ হয়। ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্বর্তী কোণ কত?

৭। দুটি সমমানের ভেক্টর একটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। এদের লব্ধির মান যেকোনো একটি ভেক্টরের মানের সমান। ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ কত?

৮। যদি সমান মানের দুটি বলের মান F এবং তাদের লব্ধিমান $\frac{F}{4}$ হয় তবে বল দুটির মধ্যবর্তী কোণ কত?

৯। যদি 3N, 4N, 5N মানের তিনটি বল কোন একটি কণার উপর এমন ভাবে ক্রিয়াশীল হয় যেন বল গুলোর প্রত্যেকটি পরস্পরের সাথে সমকোণে কার্যরত তবে লব্ধি বলের মান নির্ণয় কর।

১০। A particle has 3 velocities $10m{s}^{-1}$, $20m{s}^{-1}$ and $30m{s}^{-1}$ inclined at angle of 120° to one another. The magnitude of the resultant velocity is-

a) $10\sqrt{3}m{s}^{-1}$
b) 10 $m{s}^{-1}$
c) 5 $m{s}^{-1}$
d) 3 $m{s}^{-1}$

১১। পরস্পরের সাথে লম্বভাবে ক্রিয়াশিল দুইটি বলের লব্ধি 80N । যদি লব্ধি একটি বলের সাথে 60 ডিগ্রি কোণে আনত থাকে, তবে বল দুটির মান নির্ণয় কর।

১২। $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ ভেক্টর দুটি এমন যে, $|\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}|=|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|$ । ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যকার কোণ নির্ণয় কর।

১৩। The pilot of a private plane flies 20.0 km in a direction 60° north of east, then 30.0 km
straight east, then 10.0 km straight north. How far the plane is from the starting point.

a) 58.44 km
b) 38.44 km
c) 48.44 km
d) 46.44 km

Ans. 48.44 km

Hint:

Answers: