ভেক্টরের ঘুর্ণন (Vector Rotation)

ভেক্টরের ঘুর্ণন বা Vector Rotation হলো একটি ভেক্টরকে কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু বা অক্ষের চারদিকে ঘোরানোর প্রক্রিয়া, যাতে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য অপরিবর্তিত থাকে, কিন্তু তার দিক বা অভিমুখ বদলে যায়। সহজ কথায়, এটা এমন একটা প্রক্রিয়া যেখানে তুমি একটা ভেক্টরকে একটা নির্দিষ্ট কোণে ঘুরিয়ে নতুন জায়গায় নিয়ে যাও।

সহজ উদাহরণ দিয়ে বোঝা যাক:

ধরো, তুমি একটা তীর (ভেক্টর) হাতে ধরে আছো। এই তীরটা একটা নির্দিষ্ট দিকে নির্দেশ করছে, যেমন পূর্ব দিকে। এখন তুমি যদি তীরটাকে ৯০ ডিগ্রি ঘোরাও, তাহলে তীরটা উত্তর দিকে নির্দেশ করবে। তীরের দৈর্ঘ্য একই থাকবে, শুধু দিকটা বদলে যাবে। এটাই হলো ভেক্টরের ঘুর্ণন।

কিভাবে এটা কাজ করে?

ভেক্টর ঘোরানোর জন্য আমরা সাধারণত একটা ঘুর্ণন ম্যাট্রিক্স (Rotation Matrix) ব্যবহার করি। ধরো, তুমি একটা দ্বিমাত্রিক (2D) ভেক্টরকে $\theta$ কোণে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে (Anti-Clockwise) ঘোরাতে চাও। তাহলে ঘুর্ণন ম্যাট্রিক্স হবে:

এই ম্যাট্রিক্স দিয়ে তুমি ভেক্টরের $x$ এবং $y$ উপাংশকে গুণ করে নতুন ভেক্টর পাবে।

আবার যদি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরাতে চাইলে $\theta$ বদলে হয়ে যাবে $-\theta$

তাহলে ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স তখন হবে:

উদাহরণ:

ধরো, একটা ভেক্টর আছে $[3,4]$ বা $3\hat{i}+4\hat{j}$, আর তুমি এটাকে ৯০ ডিগ্রি ঘোরাতে চাও ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে। ৯০ ডিগ্রির জন্য $\cos {90}^{\circ }=0$ এবং $\sin {90}^{\circ }=1$। তাই ম্যাট্রিক্স হবে:

এখন ভেক্টর $[3,4]$ এর সাথে এই ম্যাট্রিক্স গুণ করলে:

অর্থাৎ, নতুন ভেক্টর হলো $[-4,3]$ বা $-4\hat{i}+3\hat{j}$। এর দৈর্ঘ্য একই থাকবে (পিথাগোরাস থিওরেম দিয়ে চেক করতে পারো), কিন্তু দিক বদলে গেছে।

:::danger
💡 মনে রাখতে হবেঃ ভেক্টরকে ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীত দিকে ঘুরালে এর শুধু দিক পরিবর্তন হয়। মানের পরিবর্তন হয় না, যদি না পরিবর্তনের কথা উল্লেখ থাকে।
:::

Demo Questions

1. একটি ভেক্টর $\overrightarrow{A}$ এর মান হচ্ছে a এটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $\theta$ কোনে ঘুরালে এর মানের পরিবর্তন কত?
   a) 0
   b) a
   c) $2\mathrm{asin}\frac{\theta }{2}$
   d) $2a\cos \frac{\theta }{2}$
2. একটি ভেষ্টর $\overrightarrow{A}$ এর মান হচ্ছে a এটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $\theta$ কোন ঘুরালে এর পরিবর্তনের মান কত?
   a) 0
   b) a
   c) $2\mathrm{asin}\frac{\theta }{2}$
   d) $2\mathrm{acos}\frac{\theta }{2}$
3. একটি ভেক্টর $\overrightarrow{A}=(3\hat{ı}+4\hat{ȷ})$ এটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ৩০ ডিগ্রি কোন ঘুরালে যে নতুন ভেক্টরটি পাওয়া যাবে তার মান কত ?
   a) 5
   b) 6
   c) 8
   d) 4
4. একটি ভেক্টর $\overrightarrow{A}=3\hat{ı}+4\hat{ȷ}$ এটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ৩০ ডিগ্রি কোন ঘুরালে যে নতুন ভেক্টরটি পাওয়া যাবে-
   a) $3\hat{ı}+4\hat{ȷ}$
   b) $13\hat{ı}+42\hat{ȷ}$
   c) $0.59\hat{ı}+4.96\hat{ȷ}$
   d) $43\hat{ı}+4\hat{ȷ}$
5. ১টি বস্তুকণা 5 m/s বেগে পূর্বদিকে যাচ্ছে। 10 sec এটি Turn করে 5 m/s বেগে উত্তর দিক বরাবর যেতে থাকে বস্তুটির বেগের পরিবর্তন এর মান কত?

Answers: