নদী-নৌকা

নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় নির্ণয়

First Case (লব্ধি ও স্রোতের মধ্যবর্তী কোণের সাহায্যে)

সমবেগে চলমান কোন বস্তুর ক্ষেত্রে সময় নির্ণয়ের ক্ষেত্রে আমরা জানি,

\begin{array}{r} t = \frac{s}{v} = \frac{D i s t a n c e C o v e r e d}{V e l o c i t y} \end{array}

তাহলে নৌকার বেগ $= v$ , স্রোতের বেগ $= u$ , এবং তাদের লব্ধি বেগ $= w$ হলে,

t = \frac{s}{w} = \frac{D i s t a n c e C o v e r e d}{R e s u l t a n t V e l o c i t y}

লব্ধিবেগ $w$ যদি স্রোতের সাথে $θ$ কোণ উৎপন্ন করে, তাহলে লব্ধিবেগ $w$ কে $X$ ও $Y$ অক্ষ বরাবর উপাংশে বিভক্ত করলে আমরা পাই,

আনূভূমিক বরাবর,

t = \frac{s}{w} = \frac{x}{w \cos θ}

:::info
:bulb: এখানে,
$x =$ পাড় বরাবর দূরত্ব
$w \cos θ =$ পাড় বরাবর বেগ
:::
উল্লম্ব বরাবর,

t = \frac{s}{w} = \frac{d}{w \sin θ}

:::info
:bulb: এখানে,
$d =$ প্রস্থ বরাবর দূরত্ব
$w \sin θ =$ প্রস্থ বরাবর বেগ
:::
তাহলে, আমরা পাচ্ছি,

t = \frac{s}{w} = \frac{x}{w \cos θ} = \frac{d}{w \sin θ}

Second Case (স্রোত ও নৌকার মধ্যবর্তী কোণের সাহায্যে)

লব্ধিবেগ $w$ যদি স্রোতের সাথে $θ$ কোণ উৎপন্ন করে এবং নৌকা ও স্রোতের মধ্যবর্তি কোণ যদি $α$ হয়, তাহলে,

$X$ অক্ষ বরাবর লম্বাংশ উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\begin{aligned} w_{x} & = u_{x} + v_{x} \\ w \cos θ & = u \cos 0^{\circ} + v \cos α \\ w \cos θ & = u + v \cos α \end{aligned}

$Y$ অক্ষ বরাবর লম্বাংশ উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\begin{aligned} w_{y} & = u_{y} + v_{y} \\ w \sin θ & = u \sin 0^{\circ} + v \sin α \\ w \sin θ & = v \sin α \end{aligned}

এবার $w \cos θ$ আর $w \sin θ$ এর এই মান গুলো উপরের গোলাপী ইকুয়েশনে বসালে পাচ্ছি,

t = \frac{s}{w} = \frac{x}{u + v \cos α} = \frac{d}{v \sin α}

সর্বনিম্ন দূরত্বে নদী পার হওয়া

ছবি থেকে বোঝা যাচ্ছে,

সর্বনিম্ন দূরত্ব $= d =$ নদীর প্রস্থ

তাহলে,

সর্বনিম্ন দূরত্বে নদী পার হতে গেলে কোন দিকে নৌকা চালানো লাগবে?

উত্তরঃ নৌকার লব্ধি $θ = 90^{\circ}$ হওয়ার জন্য যেদিকে চালানো লাগবে সেদিকেই।

তাহলে,

\begin{aligned} \tan 90^{\circ} & = \frac{v \sin α}{u + v \cos α} \\ \frac{1}{0} & = \frac{v \sin α}{u + v \cos α} \\ u + v \cos α & = 0 \end{aligned}

∴ α = \cos^{- 1} (- \frac{u}{v})

:::warning
💡 সর্বনিম্ন দূরত্বে নদী পারাপারের শর্তঃ
১। $u = v$ হলে $α$ এর মান $180^{\circ}$ হয় অর্থাৎ স্রোত আর নৌকা বিপরীতমূখী হয়ে যায়। তাই এ অবস্থায় সোজা নদী পার হওয়া সম্ভব নয়।
২। $u > v$ হলে $α$ এর মান অসংজ্ঞায়িত হয়ে যায়, তাই এ অবস্থাতেও সোজা নদী পার হওয়া সম্ভব নয়।

তাই সর্বনিম্ন দূরত্বে নদী পার হতে গেলে অবশ্যই $u < v$ হওয়া লাগবে।
:::

সর্বনিম্ন দূরত্বে নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়

আমরা আগেই দেখেছি

t = \frac{d}{v \sin α}

তাহলে এখানে $α = \cos^{- 1} (- \frac{u}{v})$ বসিয়ে দিলেই হয়ে গেল।

অথবা, $α$ এর মানটা আমরা সেই চিরচেনা সামান্তরিক সূত্রেও বসাতে পারি,

\begin{aligned} w & = \sqrt{u^{2} + v^{2} + 2 u v \cos α} \\ w & = \sqrt{u^{2} + v^{2} + 2 u v (- \frac{u}{v})} \\ w & = \sqrt{v^{2} - u^{2}} \end{aligned}

এবার $w$ এর এই মানটা আমরা বসিয়ে দিতে পারি নিচের পরিচিত সূত্রে

t = \frac{d}{w \sin θ}

যেহেতু সর্বনিম্ন দূরত্বে পার হতে গেলে $θ = 90$ , আমরা সর্বনিম্ন সময় পাচ্ছি,

t = \frac{d}{\sqrt{v^{2} - u^{2}}}

সর্বনিম্ন সময়ে নদী পার হওয়া

নিচের সূত্রটার দিকে আবার খেয়াল করঃ

t = \frac{d}{v \sin α}

যেহেতু নদীর প্রস্থ $d$ , এবং নৌকার বেগ $v$ দুটিই এখানে কন্সট্যান্ট, তাহলে $t$ এর মান নির্ভর করছে $\sin α$ এর মানের উপর।

$\sin α$ এর মান যত বাড়বে, $t$ এর মান ততই কমবে। আর $\sin α$ এর মান সর্বোচ্চ $1$ হয় যখন $α = 90^{\circ}$ হয়।

:::info
📌 এজন্যেই সর্বনিম্ন সময়ে নদী পার হতে গেলে $α = 90^{\circ}$ হওয়া লাগবে।
:::

তাহলে, আমরা সর্বনিম্ন সময় পাচ্ছি,

t = \frac{d}{v}

সর্বনিম্ন সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব

\begin{aligned} s & = w t \\ s & = \sqrt{u^{2} + v^{2} + 2 u v \cos 90^{\circ}} \times \frac{d}{v} \\ s & = \sqrt{u^{2} + v^{2}} \times \frac{d}{v} \end{aligned}

সর্বনিম্ন সময়ে পাড় বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব বা পার্শ্বসরণ

\begin{aligned} x & = w \cos θ t \\ x & = (u + v \cos α) \times \frac{d}{v} \\ x & = \frac{u d}{v} \end{aligned}