সাধারণত, জ্যামিতিতে কোনো কিছুর অবস্থান বোঝানোর জন্য আমরা গ্রাফ পেপারের মতো একটি ব্যবস্থা ব্যবহার করি, যাকে আয়তাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বা কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা (Cartesian Coordinate System) বলা হয়। এখানে দুটি অক্ষ থাকে:

• x-অক্ষ: অনুভূমিক (ডানে-বামে) রেখা।
• y-অক্ষ: উল্লম্ব (উপরে-নিচে) রেখা।

ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে আরেকটি অক্ষ থাকে, যা হলো z-অক্ষ।

এই ব্যবস্থায় ভেক্টরকে প্রকাশ করা খুব সহজ।

১. ভেক্টরের প্রকাশ

স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, একটি ভেক্টরকে তার উপাংশ (components) দিয়ে প্রকাশ করা হয়। এর জন্য একক ভেক্টর ব্যবহার করা হয়।

• একক ভেক্টর (Unit Vector): যে ভেক্টরের মান ১, তাকে একক ভেক্টর বলে। এটি শুধু দিক নির্দেশ করার জন্য ব্যবহৃত হয়।
  • x-অক্ষের দিকে একক ভেক্টরকে লেখা হয়: $\hat{i}$
  • y-অক্ষের দিকে একক ভেক্টরকে লেখা হয়: $\hat{j}$
  • z-অক্ষের দিকে একক ভেক্টরকে লেখা হয়: $\hat{k}$

এখন, ধরা যাক একটি ভেক্টর $\overrightarrow{A}$ আছে, যা x-অক্ষের দিকে ৩ একক এবং y-অক্ষের দিকে ৪ একক যায়। তাহলে ভেক্টরটিকে এভাবে লেখা হবে:
$\overrightarrow{A}=3\hat{i}+4\hat{j}$

এখানে, 3 হলো x-উপাংশ এবং 4 হলো y-উপাংশ।

২. ভেক্টরের মান নির্ণয়

কোনো ভেক্টরের মান হলো তার দৈর্ঘ্য। স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে খুব সহজে এর মান বের করা যায়।

যদি একটি ভেক্টর $\overrightarrow{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}$ হয়, তবে তার মান হবে:
$|\overrightarrow{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$

উদাহরণ: $\overrightarrow{A}=3\hat{i}+4\hat{j}$ ভেক্টরটির মান কত?
$|\overrightarrow{A}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের ($\overrightarrow{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}$) ক্ষেত্রেও নিয়মটি একই:
$|\overrightarrow{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}$

৩. ভেক্টরের দিক নির্ণয়

ভেক্টরের দিক সাধারণত x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে উৎপন্ন কোণ ($\theta$) দিয়ে প্রকাশ করা হয়। এটি ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয়।

যদি একটি ভেক্টর $\overrightarrow{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}$ হয় এবং সেটি $x$ অক্ষের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে, তবে তার দিক হবে:

উদাহরণ: $\overrightarrow{A}=3\hat{i}+4\hat{j}$ ভেক্টরটির $x$ অক্ষের সাথে দিক কত?
$\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\approx {53.13}^{\circ }$

এর মানে হলো, ভেক্টরটি $x-$অক্ষের সাথে প্রায় ${53.13}^{\circ }$ কোণ তৈরি করে।

আবার $x$ অক্ষের সাথে $\theta$ কোণ উৎপণ্ণ করলে $y$ অক্ষের সাথে উৎপন্ন হয় ($\alpha =90-\theta$) কোণ। এখানেও আমরা ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে বলতে পারি,

৪. ভেক্টরের যোগ ও বিয়োগ

আয়তাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ভেক্টরের যোগ ও বিয়োগ খুব সহজ। শুধু একই অক্ষের উপাংশগুলো যোগ বা বিয়োগ করতে হয়।

• ভেক্টর যোগ:
  ধরা যাক, দুটি ভেক্টর $\overrightarrow{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}$ এবং $\overrightarrow{B}=B_x\hat{i}+B_y\hat{j}$।
  তাদের যোগফল বা লব্ধি ভেক্টর হবে:
  $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=(A_x+B_x)\hat{i}+(A_y+B_y)\hat{j}$

  উদাহরণ:
  $\overrightarrow{A}=2\hat{i}+3\hat{j}$ এবং $\overrightarrow{B}=4\hat{i}+1\hat{j}$ হলে,
  $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=(2+4)\hat{i}+(3+1)\hat{j}=6\hat{i}+4\hat{j}$

• ভেক্টর বিয়োগ:
  দুটি ভেক্টরের বিয়োগফল হবে:
  $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=(A_x-B_x)\hat{i}+(A_y-B_y)\hat{j}$

  উদাহরণ: উপরের একই ভেক্টর $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ এর জন্য,
  $\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=(2-4)\hat{i}+(3-1)\hat{j}=-2\hat{i}+2\hat{j}$

মনে রাখতে হবেঃ