দড়ি বেয়ে ওঠা-নামা

লিফটের সমস্যার মতোই আরেকটি মজার টপিক হলো দড়ি বেয়ে কোনো কিছুর (যেমন: বানর) ওঠা-নামা। এই দুটি বিষয়ের পেছনের ফিজিক্স কিন্তু হুবহু এক।

মনে করে দেখো: লিফটের ক্ষেত্রে আমরা আপাত ওজন বা প্রতিক্রিয়া বল ( $R$ ) নিয়ে কাজ করেছি। এখানেও ঠিক একই ঘটনা ঘটে, শুধু প্রতিক্রিয়া বলের জায়গা নেয় দড়ির টান বল ( $T$ )।

বানরটি দড়ির ওপর যে বল প্রয়োগ করে, দড়িও নিউটনের তৃতীয় সূত্রানুযায়ী বানরের ওপর সমান ও বিপরীতমুখী টান বল ( $T$ ) প্রয়োগ করে। বানরের ত্বরণ এই টান বলের মানের ওপরই নির্ভর করে।

মূল সূত্র এখানেও একটাই: $\sum F = m a$

বিভিন্ন অবস্থা ও তাদের বিশ্লেষণ

চলো, ছবির আলোকে বানরের সম্ভাব্য সকল অবস্থা বিশ্লেষণ করি।

অবস্থা ১: বানর স্থির বা সমবেগে গতিশীল

যখন বানরটি দড়ি ধরে স্থির অবস্থায় ঝুলে থাকে, অথবা একটি নির্দিষ্ট বেগে (সমবেগে) উপরে বা নিচে নামতে থাকে, তখন তার কোনো ত্বরণ থাকে না, অর্থাৎ $a = 0$ ।

বিশ্লেষণ:
যেহেতু ত্বরণ $a = 0$ , তাই নিট বল, $\sum F = 0$ ।
এর মানে, বানরের উপর ক্রিয়াশীল উপরের দিকের বল এবং নিচের দিকের বল সমান।

উপরের দিকের বল (টান) = $T$
নিচের দিকের বল (ওজন) = $m g$

সুতরাং,

\begin{aligned} T - m g & = 0 \\ ∴ T & = m g \end{aligned}

💡 উপসংহার:
দড়ির টান ( $T$ ) = বানরের প্রকৃত ওজন ( $m g$ )।
এই অবস্থায় দড়িটি কেবল বানরের ওজন বহন করে।

অবস্থা ২: বানর $a$ ত্বরণে উপরে উঠছে

যখন বানরটি উপরের দিকে $a$ ত্বরণে উঠতে থাকে, তখন তার একটি ঊর্ধ্বমুখী লব্ধি বলের প্রয়োজন হয়।

বিশ্লেষণ:
যেহেতু ত্বরণের দিক উপরের দিকে, আমরা উপরের দিককে ধনাত্মক (+) ধরব।
নিট বল, $\sum F =$ (উপরের দিকের বল) - (নিচের দিকের বল)
$\sum F = T - m g$

নিউটনের সূত্রানুযায়ী, $\sum F = m a$ ।
সুতরাং,

\begin{aligned} T - m g & = m a \\ ∴ T & = m (g + a) \end{aligned}

💡 উপসংহার:

যেহেতু $T = m g + m a$ , তাই দড়ির টান ( $T$ ) > বানরের প্রকৃত ওজন ( $m g$ )।

উপরে ওঠার জন্য বানরকে তার ওজনের চেয়েও বেশি বল প্রয়োগ করতে হয়, ফলে দড়িতে টান বেড়ে যায়।

অবস্থা ৩: বানর $a$ ত্বরণে নিচে নামছে

যখন বানরটি নিচের দিকে $a$ ত্বরণে নামতে থাকে, তখন তার একটি নিম্নমুখী লব্ধি বল কাজ করে।

বিশ্লেষণ:
যেহেতু ত্বরণের দিক নিচের দিকে, আমরা নিচের দিককে ধনাত্মক (+) ধরব।
নিট বল, $\sum F =$ (নিচের দিকের বল) - (উপরের দিকের বল)
$\sum F = m g - T$

নিউটনের সূত্রানুযায়ী, $\sum F = m a$ ।
সুতরাং,

\begin{aligned} m g - T & = m a \\ ∴ T & = m (g - a) \end{aligned}

💡 উপসংহার:

যেহেতু $T = m g - m a$ , তাই দড়ির টান ( $T$ ) < বানরের প্রকৃত ওজন ( $m g$ )।

ত্বরণে নিচে নামার সময় দড়ির টান বানরের প্রকৃত ওজনের চেয়ে কম হয়।

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা: দড়ির সহনশীল টান (Breaking Tension)

পরীক্ষায় প্রায়ই এমন সমস্যা দেওয়া থাকে যেখানে বলা হয়, "একটি দড়ি সর্বোচ্চ 40 N টান সহ্য করতে পারে"। একে দড়ির সহনশীল টান ( $T_{m a x}$ ) বলে। এর চেয়ে বেশি টান প্রযুক্ত হলেই দড়িটি ছিঁড়ে যাবে।

প্রশ্ন: একটি দড়ি সর্বোচ্চ 40 N টান সহ্য করতে পারে। 2 kg ভরের একটি বানর সর্বোচ্চ কত ত্বরণে দড়ি বেয়ে উপরে উঠতে পারবে?

সমাধান:
আমরা জানি, উপরে ওঠার সময় দড়িতে সবচেয়ে বেশি টান পড়ে। দড়িটি যেন না ছেঁড়ে, সেজন্য টান $T$ অবশ্যই $T_{m a x}$ এর সমান বা কম হতে হবে। সর্বোচ্চ ত্বরণের জন্য আমরা ধরব $T = T_{m a x} = 40 N$ ।

উপরে ওঠার সূত্র ব্যবহার করে পাই:

\begin{aligned} T_{m a x} & = m (g + a_{m a x}) \\ 40 & = 2 (9.8 + a_{m a x}) \\ 20 & = 9.8 + a_{m a x} \\ a_{m a x} & = 10.2 {m/s}^{2} \end{aligned}

উপসংহার: বানরটি সর্বোচ্চ $10.2 {m/s}^{2}$ ত্বরণে উপরে উঠতে পারবে। এর চেয়ে বেশি ত্বরণ সৃষ্টি করতে গেলেই দড়িটি ছিঁড়ে যাবে।

এক নজরে সকল সূত্র

বানরের অবস্থা	ত্বরণ ( $a$ )	দড়ির টানের ( $T$ ) সমীকরণ	টানের অবস্থা
স্থির	$a = 0$	$T = m g$	প্রকৃত ওজনের সমান
সমবেগে উপরে/নিচে	$a = 0$	$T = m g$	প্রকৃত ওজনের সমান
a ত্বরণে উপরে	$a ↑$	$T = m (g + a)$	ওজন অপেক্ষা বেশি
a ত্বরণে নিচে	$a ↓$	$T = m (g - a)$	ওজন অপেক্ষা কম

টিপস:

লিফট আর বানরের সমস্যা পুরোপুরি একই, শুধু $R$ -এর জায়গায় $T$ বসাবে।
সবসময় খেয়াল রাখবে ত্বরণের দিক কোন দিকে। ত্বরণের দিকে লব্ধি বল কাজ করে।
"দড়ি ছিঁড়ে যাবে কি না" বা "সর্বোচ্চ কত ত্বরণে উঠতে পারবে" – এই ধরনের প্রশ্ন দেখলেই বুঝবে তোমাকে $T_{m a x}$ এর ধারণা ব্যবহার করতে হবে।