গতি সম্পর্কিত বিভিন্ন রাশি

গতি সম্পর্কিত বিভিন্ন রাশি

আমরা যখন কোনো কিছুর গতি নিয়ে কথা বলি, তখন কিছু শব্দ বা রাশি ব্যবহার করি, যেমন – দূরত্ব, সরণ, বেগ, ত্বরণ ইত্যাদি। চলো, এগুলোর পোস্টমর্টেম করা যাক।

১. দূরত্ব (Distance) ও সরণ (Displacement)

এই দুটোকে অনেকেই এক ভেবে ভুল করে, কিন্তু এরা আসলে সৎ ভাইয়ের মতো, দেখতে একরকম হলেও আসল পরিচয় আলাদা।

• দূরত্ব (Scalar): কোনো বস্তু মোট যে পথটা ঘুরে আসে, সেটাই হলো তার দূরত্ব। এটা একটা স্কেলার রাশি, মানে এর শুধু মান আছে, কোনো দিক নেই।
• সরণ (Vector): কোনো বস্তুর শুরু আর শেষ অবস্থানের মধ্যে যে সরলরৈখিক বা সোজাসুজি দূরত্ব, সেটাই হলো সরণ। এটা একটা ভেক্টর রাশি, মানে এর মান ও দিক দুটোই আছে।

উদাহরণ:
মনে করো, তুমি বাড়ি A থেকে বেরিয়ে সোজা $4$ মিটার দূরে দোকানে B গেলে। তারপর সেখান থেকে ${90}^{\circ }$ কোণে বাঁক নিয়ে $3$ মিটার হেঁটে তোমার বন্ধু রাজুর বাসায় C গেলে।

• তোমার অতিক্রান্ত দূরত্ব: তুমি মোট হেঁটেছ $4m+3m=7m$। এটাই দূরত্ব।
• তোমার সরণ: তোমার যাত্রা শুরু হয়েছে বাড়ি A থেকে আর শেষ হয়েছে রাজুর বাসায় C। এই দুই বিন্দুর মধ্যে সোজাসুজি দূরত্ব কত? পিথাগোরাসের সূত্র মনে আছে?
  সরণ = $\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ মিটার।
  এবং এর একটা নির্দিষ্ট দিকও আছে (A থেকে C এর দিকে)।

দেখলে তো, দূরত্ব হলো $7$ মিটার, কিন্তু সরণ মাত্র $5$ মিটার!

২. দ্রুতি (Speed) ও বেগ (Velocity)

দূরত্ব আর সরণের মতোই, দ্রুতি আর বেগের মধ্যেও একটা দিক-নির্দেশনার পার্থক্য আছে।

• দ্রুতি (Scalar): একক সময়ে যে পরিমাণ দূরত্ব পার করা হয়, তাকে দ্রুতি বলে। সহজ কথায়, একটা বস্তু কত ‘জোড়ে’ চলছে।
  সূত্র:

• বেগ (Vector): একক সময়ে যে পরিমাণ সরণ হয়, তাকে বেগ বলে। অর্থাৎ, একটা বস্তু কত জোড়ে এবং ‘কোন দিকে’ চলছে।
  সূত্র:

৩. গড় দ্রুতি (Average Speed) ও গড় বেগ (Average Velocity)

এটাই হলো আসল প্যাঁচের জায়গা! কিন্তু একদম সোজা।

• গড় দ্রুতি: এটা হলো মোট অতিক্রান্ত দূরত্বকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করার ফল। চলার পথে তোমার স্পিড কতবার বদলেছে, তা এখানে বিবেচ্য নয়।
  

• গড় বেগ: এটা হলো মোট সরণকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করার ফল। এটা শুধু তোমার শুরুর আর শেষের অবস্থান দেখে। মাঝখানে তুমি কোথায় গেছো, তা নিয়ে এর কোনো মাথাব্যথা নেই।
  

পার্থক্যটা একটা উদাহরণ দিয়ে ক্লিয়ার করি:
মনে করো, একটা ছেলে একটা বৃত্তাকার মাঠের (ব্যাসার্ধ $7$ মিটার) A বিন্দু থেকে দৌড় শুরু করে পুরো এক চক্কর দিয়ে আবার A বিন্দুতেই ফিরে এলো। তার সময় লাগলো $10$ সেকেন্ড।

• মোট দূরত্ব: বৃত্তের পরিধি = $2\pi r=2\times \frac{22}{7}\times 7=44$ মিটার।
• মোট সরণ: যেহেতু সে শুরুর জায়গাতেই ফিরে এসেছে, তাই তার সরণ হলো $0$ মিটার।

এবার হিসাব করো:

• গড় দ্রুতি = $\frac{44\text{ m}}{10\text{ s}}=4.4m/s$
• গড় বেগ = $\frac{0\text{ m}}{10\text{ s}}=0m/s$

ব্যাপারটা দেখলে? ছেলেটা এত কষ্ট করে দৌড়ালো, কিন্তু তার গড় বেগ শূন্য! কারণ পদার্থবিজ্ঞানের চোখে, তার অবস্থানের কোনো পরিবর্তনই হয়নি।

৪. ত্বরণ (Acceleration)

সময়ের সাথে বেগ পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে। মানে, তোমার বেগ কত দ্রুত বাড়ছে বা কমছে। এটা একটা ভেক্টর রাশি।

ত্বরণ তিন রকম হতে পারে:

1. ধনাত্মক ত্বরণ: যখন বেগ সময়ের সাথে বাড়ে (যেমন: গাড়ি চলা শুরু করলে)।
2. ঋণাত্মক ত্বরণ বা মন্দন: যখন বেগ সময়ের সাথে কমে। অর্থাৎ বিপরীত দিকের ত্বরণ (যেমন: ব্রেক কষলে)।
3. শূন্য ত্বরণ: যখন বেগ একই থাকে, অর্থাৎ বস্তু সমবেগে চলে।

৫. তাৎক্ষণিক বেগ ও ত্বরণ (Instantaneous Velocity and Acceleration)

গড় বেগ তো আমাদের একটা লম্বা সময়ের ধারণা দেয়। কিন্তু কোনো একটা ‘নির্দিষ্ট মুহূর্তে’ বেগ বা ত্বরণ কত, সেটা কীভাবে বের করব? গাড়ির স্পিডোমিটারের কাঁটা তো প্রতি মুহূর্তের স্পিড দেখায়, তাই না? এই প্রতি মুহূর্তের বেগ বা ত্বরণকেই তাৎক্ষণিক বা Instantaneous বলে।

এখানেই ক্যালকুলাসের কাহিনী শুরু

ভাবো তো, "একটা মুহূর্ত" মানে কী? মানে হলো, সময়টা এতই ছোট যে প্রায় শূন্যের কাছাকাছি ($\mathrm{\Delta }t\to 0$)। এই অতি ক্ষুদ্র সময়ে সরণের পরিবর্তনকে সময় দিয়ে ভাগ করলেই ওই মুহূর্তের বেগ পাওয়া যায়। আর এই কাজটাই করে ক্যালকুলাসের ডিফারেন্সিয়েশন (Differentiation) বা অন্তরীকরণ।

• তাৎক্ষণিক বেগ ($v$): এটা হলো সময়ের সাপেক্ষে সরণের ($s$) ডিফারেন্সিয়েশন।

  • $v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{ds}{dt}$

• তাৎক্ষণিক ত্বরণ ($a$): এটা হলো সময়ের সাপেক্ষে বেগের ($v$) ডিফারেন্সিয়েশন।

  • $a=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{dv}{dt}$
  • যেহেতু $v=\frac{ds}{dt}$, তাই আমরা লিখতে পারি, $a=\frac{d}{dt}(\frac{ds}{dt})=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}$ (সরণের সেকেন্ড ডেরিভেটিভ)।

একটা গাণিতিক উদাহরণ দেখি:

কোনো একটা কণার সরণের সমীকরণ হলো $s(t)=2t^3-3t^2+5t+1$ মিটার।
প্রশ্ন: $t=2$ সেকেন্ড সময়ে কণাটির তাৎক্ষণিক বেগ ও ত্বরণ কত?

সমাধান:

১. তাৎক্ষণিক বেগ বের করি:
বেগের সমীকরণ হলো সরণের সমীকরণকে $t$ এর সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েট করা।
$v(t)=\frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt}(2t^3-3t^2+5t+1)$
$v(t)=(2\times 3t^{3-1})-(3\times 2t^{2-1})+(5\times 1t^{1-1})+0$
$v(t)=6t^2-6t+5$

এখন $t=2$ সেকেন্ডে বেগ:
$v(2)=6(2{)}^2-6(2)+5$
$v(2)=6(4)-12+5=24-12+5=17m/s$

২. তাৎক্ষণিক ত্বরণ বের করি:
ত্বরণের সমীকরণ হলো বেগের সমীকরণকে $t$ এর সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েট করা।
$a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(6t^2-6t+5)$
$a(t)=(6\times 2t^{2-1})-(6\times 1t^{1-1})+0$
$a(t)=12t-6$

এখন $t=2$ সেকেন্ডে ত্বরণ:
$a(2)=12(2)-6=24-6=18m/s^2$