সরলরেখা সম্পর্কিত সূত্র ও নিয়মাবলী

1. কার্টেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্ক সম্পর্কিত:

কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x, y)$ এবং পোলার স্থানাঙ্ক $(r, θ)$ হলে,

\begin{array}{r} x = r c o s θ \\ y = r s i n θ \\ r = \sqrt{x ² + y ²} \end{array}

এবং
$১$ ম চতুর্ভাগে, $θ = t a n ⁻ ¹ | \frac{y}{x} |$
$২$ য় চতুর্ভাগে, $θ = π - t a n ⁻ ¹ | \frac{y}{x} |$
$৩$ য় চতুর্ভাগে, $θ = π + t a n ⁻ ¹ | \frac{y}{x} |$ অথবা, $θ = - π + t a n ⁻ ¹ | \frac{y}{x} |$
$৪$ র্থ চতুর্ভাগে, $θ = - t a n ⁻ ¹ | \frac{y}{x} |$ অথবা, $θ = 2 π - t a n ⁻ ¹ | \frac{y}{x} |$

2. দূরত্ব নির্ণয় সংক্রান্ত:

(i) কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $(x_{1}, y_{1})$ এবং $(x_{2}, y_{2})$ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

\sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}}

(ii) পোলার স্থানাঙ্ক $(r_{1}, θ_{1})$ এবং $(r_{2}, θ_{2})$ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

\sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{1} - θ_{2})}

:::info
💡Tips:

ভূজদ্বয় সমান হলে,
দূরত্ব = |কোটির পরিবর্তন|
কোটিদ্বয় সমান হলে,
দূরত্ব = |ভূজের পরিবর্তন|
:::

3. অন্ত:বিভক্ত ও বহি:বিভক্ত সংক্রান্ত:

$P (x_{1}, y_{1})$ এবং $Q (x_{2}, y_{2})$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে $R (x, y)$ বিন্দুটি $m_{1} : m_{2}$ অনুপাতে,

(i) অন্ত:বিভক্ত করলে, অন্ত:বিভক্তকারী বিন্দু

(\frac{m_{1} x_{2} + m_{2} x_{1}}{m_{1} + m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2} + m_{2} y_{1}}{m_{1} + m_{2}})

(ii) বহি:বিভক্ত করলে, বহি:বিভক্তকারী বিন্দু

(\frac{m_{1} x_{2} - m_{2} x_{1}}{m_{1} - m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2} - m_{2} y_{1}}{m_{1} - m_{2}})

4. মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত:

$(x_{1}, y_{1})$ ও ( $x_{2}, y_{2})$ বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দু

(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

5. ত্রিভূজের ভরকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র, অন্তকেন্দ্র, বহিকেন্দ্র সংক্রান্ত:

ভরকেন্দ্র

মধ্যমা গুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলা হয় ভরকেন্দ্র।

$(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ এবং $(x_{3}, y_{3})$ বিন্দু তিনটি দিয়ে গঠিত ত্রিভূজের ভরকেন্দ্র

(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3})

:::info
💡ভরকেন্দ্র মধ্যমাগুলোকে সবসময় 2:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
:::

:::info
💡কোন ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র, ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের সমান হয়।
:::

পরিকেন্দ্র

যে বৃত্ত ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষ বিন্দু দিয়ে যায়, তার কেন্দ্রকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।

:::info
💡
একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্ব দ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে, সেটাই পরিকেন্দ্র।

সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু।
:::

লম্বকেন্দ্র

কোন ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুগুলো হতে বিপরীত বাহুগুলোর উপর লম্ব টানলে লম্বগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে লম্বকেন্দ্র বলে।

:::info
💡 কীভাবে বের করতে হয়?

১। যেকোন দুটি বাহুর দুটি লম্ব দিখন্ডক ধরে নিতে হবে।
২। লম্ব দিখন্ডক গুলো যেখানে ছেদ করে সেই বিন্দু অর্থাৎ লম্বকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ধরে নিতে হবে।
৩। প্রত্যেক রেখার ঢাল বের করে নিতে হবে।
৪। দুই বাহুর ওপর দুই লম্ব দিখন্ডক লম্ব হওয়ায় ঢালদুটির গুনফল -1 দেখাতে হবে।
৫। এভাবে দুটি স্থানাঙ্ক পাওয়া যাবে। সেই দুই স্থানাংক মূলত একই (লম্বকেন্দ্র)। সমাধান করলেই বের হয়ে যাবে।
:::

অন্তকেন্দ্র

কোন ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোকে সমদ্বিখন্ডিত করলে সমদ্বিখন্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।

অথবা,

ত্রিভুজের সব বাহুকে স্পর্শ করে ভেতরে একটি বৃত্ত আঁকলে সেটার কেন্দ্রই অন্তকেন্দ্র।

ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষ $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), ও (x_{3}, y_{3})$ হলে, অন্তকেন্দ্রঃ

\begin{array}{r} (\frac{a x_{1} + b x_{2} + c x_{3}}{a + b + c}, \frac{a y_{1} + b y_{2} + c y_{3}}{a + b + c}) \end{array}

:::info
👉🏽 এখানে,

$a, b, c$ যথাক্রমে প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য।
প্রতিটি বাহুর জন্য বিপরিত শীর্ষের ভুজ ও কোটি নিতে হবে।
:::

বহিকেন্দ্র

কোন ত্রিভুজের বহি:স্থ দুটি কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয় যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে বহি:কেন্দ্র বলে। ত্রিভুজের বহি:কেন্দ্র থাকে তিনটি।

ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষ $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), ও (x_{3}, y_{3})$ হলে, বহিকেন্দ্রঃ

\begin{array}{r} P \equiv (\frac{a x_{1} + b x_{2} - c x_{3}}{a + b - c}, \frac{a y_{1} + b y_{2} - c y_{3}}{a + b - c}) \end{array}

\begin{array}{r} N \equiv (\frac{a x_{1} - b x_{2} + c x_{3}}{a - b + c}, \frac{a y_{1} - b y_{2} + c y_{3}}{a - b + c}) \end{array}

\begin{array}{r} M \equiv (\frac{- a x_{1} + b x_{2} + c x_{3}}{- a + b + c}, \frac{- a y_{1} + b y_{2} + c y_{3}}{- a + b + c}) \end{array}

💡

:::success
$⋆$ Special Case:
যদি সমবাহ ত্রিভুজ হয় সমবাহ ত্রিভুজের সকল কেন্দ্রই একই বহি:কেন্দ্র বাদে।
:::

6. ক্ষেত্রফল নির্ণয় সংক্রান্ত:

(i) $A (x ₁, y ₁), B (x ₂, y ₂)$ এবং $C (x ₃, y ₃)$ বিন্দুগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

\frac{1}{2} | \begin{matrix} x ₁ & y ₁ & 1 \\ x ₂ & y ₂ & 1 \\ x ₃ & y ₃ & 1 \end{matrix} |

অথবা,

\frac{1}{2} | \begin{matrix} x ₁ & x ₂ & x ₃ & x ₁ \\ y ₁ & y ₂ & y ₃ & y ₁ \end{matrix} |

(ii) $A (x ₁, y ₁), B (x ₂, y ₂), C (x ₃, y ₃)$ এবং $D (x ₄, y ₄)$ চারটি বিন্দু দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

\frac{1}{2} | \begin{matrix} x ₁ & x ₂ & x ₃ & x ₄ & x ₁ \\ y ₁ & y ₂ & y ₃ & y ₄ & y ₁ \end{matrix} |

ক্ষেত্রফলের দিক

ত্রিভূজের নিশ্চায়কঃ

δ_{A B C} = | \begin{matrix} x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{3} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{matrix} |

:::info
💡

$δ_{A B C} > 0$ হলে, $A, B, C$ এদের ঘূর্ণন হবে ঘড়ির কাটার বিপরীত দিকে/ ধনাত্মক ক্রমে
$δ_{A B C} < 0$ হলে, $A, B, C$ এদের ঘূর্ণন হবে ঘড়ির কাটার দিকে/ঋনাত্বক ক্রমে
:::

7. সরলরেখার ঢাল সংক্রান্ত:

(i) $(x_{1}, y_{1})$ এবং $(x_{2}, y_{2})$ বিন্দুগামী রেখার ঢাল

m = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}}

(ii) $a x + b y + c = 0$ ; সরলরেখার ঢাল

m = - \frac{a}{b}

(iii) একটি সরলরেখা $X$ অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $θ$ কোণ উৎপন্ন করলে তার ঢাল

m = t a n θ

8. সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় সংক্রান্ত:

(i) কোনো সরলরেখার ঢাল $m$ এবং $Y$ অক্ষ থেকে এটি $c$ পরিমাণ অংশ ছেদ করলে, সরলরেখার সমীকরণ:

y = m x + c

$c = 0$ হলে, সমীকরণ (যা মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ)

y = m x

(ii) $(x ₁, y ₁)$ বিন্দুগামী এবং $m$ ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:

y - y ₁ = m (x - x ₁)

(iii) $(x ₁, y ₁)$ এবং $(x ₂, y ₂)$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:

\frac{x - x ₁}{x ₁ - x ₂} = \frac{y - y ₁}{y ₁ - y ₂}

(iv) কোনো সরলরেখা কর্তৃক $x$ অক্ষের ছেদাংশ $a$ এবং $y$ অক্ষের ছেদাংশ $b$ হলে, সরলরেখার সমীকরণ:

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

এবং ছেদবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(a, 0)$ ও $(0, b)$

(v) মূলবিন্দু হতে কোনো সরলরেখার উপর অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য $p$ এবং $x$ অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে উক্ত লম্বের উৎপন্ন কোণের পরিমাণ $α$ হলে, সরলরেখার সমীকরণ:

x \cos α + y \sin α = p

(vi) সরলরেখার দূরত্ব আকার সমীকরণ:

\frac{x - x_{1}}{\cos θ} = \frac{y - y_{1}}{\sin θ} = \pm r

9. দুটি সরলরেখা একই অথবা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত:

$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ এবং $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ একই সরলরেখা নির্দেশ করলে,

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}

তবে এরা পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা হলে,

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}

আবার সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের ঢাল $m_{1}$ ও $m_{2}$ হলে,

m_{1} = m_{2}

10. তিনটি সরলরেখার সমবিন্দুগামী হওয়ার শর্ত:

$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0, a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ এবং $a_{3} x + b_{3} y + c_{3} = 0$ সমবিন্দু হওয়ার শর্ত:

| \begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array} | = 0

:::warning
👉🏽অথবা তিনটি রেখা যে বিন্দুতে ছেদ করেছে সেই বিন্দু দিয়ে সিদ্ধ হবে।
:::

11. দুইটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত:

(i) $m_{₁}$ ও $m_{₂}$ ঢালবিশিষ্ট দুইটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হলে,

m ₁ . m ₂ = - 1

(ii) $a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0$ ও $a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0$ রেখাদ্বয় লম্ব হলে

a ₁ a ₂ + b ₁ b ₂ = 0

12. লম্ব সরলরেখার সমীকরণ:

(i) $a x + b y + c = 0$ রেখার উপর লম্ব এরূপ যেকোনো রেখার সমীকরণ,

b x - a y + k = 0

যেখানে k ধ্রুবক।

(ii) $a x + b y + c = 0$ রেখার উপর লম্ব এবং $(α, β)$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

b x - a y = b α - α β

13. সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:

(i) $a x + b y + c = 0$ রেখার সমান্তরাল এরূপ যেকোনো রেখার সমীকরণ,

a x + b y + k = 0

যেখানে k ধ্রুবক।

(ii) $a x + b y + c = 0$ এর সমান্তরাল এবং $(α, β)$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

a x + b y = a α + b β

:::info
👉🏽

লম্ব বা সমান্তরাল রেখা বের করতে বললে, এবং সেই লম্ব বা সমান্তরাল রেখার উপর কোনও বিন্দু জানা থাকলে সেই বিন্দু দিয়ে সমীকরণ সিদ্ধ করে $k$ এর মান বের করতে হয়।

অথবা,

আমরা $y - y ₁ = m (x - x ₁)$ ফরম্যাটে ধরে নিয়ে ঢালের শর্ত ব্যবহার করেও অজানা সেই লম্ব বা সমান্তরাল রেখা বের করতে পারি।
:::

14. দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয়:

(i) $y = m ₁ x + c ₁$ এবং $y = m ₂ x + c ₂$ রেখাদুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ $θ$ হলে,

t a n θ = \pm \frac{m ₁ - m ₂}{1 + m ₁ m ₂}

(ii) $a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0$ এবং $a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0$ সরলরেখা দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ $θ$ হলে,

t a n θ = \pm \frac{a ₂ b ₁ - a ₁ b ₂}{a ₁ a ₂ + b ₁ b ₂}

15. বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় সংক্রান্ত:

(i) $P (x ₁, y ₁)$ এবং $Q (x ₂, y ₂)$ বিন্দুদ্বয় $a x + b y + c = 0$ রেখার একই পার্শ্বে থাকলে

$a x ₁ + b y ₁ + c$ এবং $a x ₂ + b y ₂ + c$ একই চিহ্নবিশিষ্ট এবং বিপরীত পার্শ্বে থাকলে বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হবে।

(ii) $P (x^{'}, y^{'})$ বিন্দুটি $a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0$ এবং $a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0$ রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত স্থলকোণে অথবা সূক্ষ্মকোণে অবস্থিত হবে যখন যথাক্রমে

$(a ₁ x^{'} + b ₁ y^{'} + c ₁) (a ₂ x^{'} + b ₂ y^{'} + c ₂) (a ₁ a ₂ + b ₁ b ₂) > 0$ অথবা $< 0$ হয়।

উদাহরণঃ

$(2, 3)$ বিন্দুটি $2 x + y + 3 = 0$ এবং $x + y + 7 = 0$ রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূঙ্গকোণে না কি স্বুলকোণে অবস্থান করে তা নির্ণয় কর।

উত্তরঃ
$(4 + 3 + 3) \times (2 + 3 + 7) \times (2 \times 1 + 1 \times 1) = 10 \times 12 \times 3 = 360 > 0$
$∴ (2, 3)$ বিন্দুটি স্থুলকোণে অবস্থান করে।

16. নির্দিষ্ট কোনো বিন্দু হতে কোনো রেখার লম্ব দূরত্ব সংক্রান্ত:

(i) $(x_{1}, y_{1})$ বিন্দু হতে $a x + b y + c = 0$ রেখার লম্ব দূরত্ব,

\frac{| a x_{1} + b y_{1} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

(ii) মূলবিন্দু হতে $a x + b y + c = 0$ রেখার লম্ব দূরত্ব

\frac{| c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

17. দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় সংক্রান্ত:

$a x + b y + c_{1} = 0$ এবং $a x + b y + c_{2} = 0$ সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

\frac{| c_{1} - c_{2} |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

18. দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখার সমীকরণ সংক্রান্ত:

(i) $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ এবং $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ রেখাদুটির অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ,

\begin{array}{r} \frac{a_{1} x + b_{1} y + c_{1}}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}}} = \pm \frac{a_{2} x + b_{2} y + c_{2}}{\sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}} \end{array}

(ii) $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} > 0$ হলে $(+)$ নিয়ে স্থলকোণের সমদ্বিখণ্ডক এবং $(-)$ নিয়ে সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখণ্ডক নির্ণয় করতে হবে।

(iii) $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} < 0$ হলে $(-)$ নিয়ে স্থলকোণের সমদ্বিখণ্ডক এবং $(+)$ নিয়ে সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।

(iv) $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ এবং $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ রেখাদুটির ক্ষেত্রে,

$c_{1} c_{2} > 0$ হলে $(+)$ চিহ্নযুক্ত সমীকরণটি মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখণ্ডক নির্দেশ করে এবং
$c_{1} c_{2} < 0$ হলে $(-)$ চিহ্নযুক্ত সমীকরণটি মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখণ্ডক নির্দেশ করে।
:::info
💡 সূক্ষ্মকোণের ও স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডকগুলো পরস্পর লম্ব হবে।
:::

20. অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিবিম্ব নির্ণয় সঙ্ক্রান্ত:

$x$ অক্ষের সাপেক্ষে কোন বিন্দুর প্রতিবিম্ব নির্ণয় করতে হলে শুধুমাত্র $y$ এর পরিবর্তে $- y$ বসিয়ে দিলে হবে।
$y$ অক্ষের সাপেক্ষে কোন বিন্দুর প্রতিবিম্ব নির্ণয় করতে হলে শুধুমাত্র $x$ এর পরিবর্তে $- x$ বসিয়ে দিলে হবে।

উদাহরণ

$X$ -অক্ষের সাপেক্ষে $(x, y)$ বিন্দুর প্রতিবিস্ব কত?

Ans. প্রতিবিস্ব $\equiv (x, - y)$

$Y$ -অক্ষের সাপেক্ষে $(2, 3$ ) বিন্দুর প্রতিবিস্ব কত?

Ans. $(- 2, 3)$

$x$ - অক্ষের সাপেক্ষে

(1) $2 x + 3 y + 5 = 0$ সরলরেখার প্রতিবিম্ব কত? Ans. $2 x - 3 y + 5 = 0$

(2) $x^{2} + y^{2} - 2 x + 3 y + 1 = 0$ বৃত্তের প্রতিবিম্ব কত? Ans. $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 y + 1 = 0$

Y-অক্ষের সাপেক্ষে
(1) $2 x + 3 y + 5 = 0$ সরলরেখার প্রতিবিম্ব কত?

Ans. $2 (- x) + 3 y + 5 = 0 \Rightarrow - 2 x + 3 y + 5 = 0$
(2) $x ² + y ² - 2 x + 3 y + 1 = 0$ বৃত্তের প্রতিবিম্ব কত?

Ans. $x ² + y ² + 2 x + 3 y + 1 = 0$

$y = x$ রেখার সাপেক্ষে প্রতিবিম্ব

$y = x$ রেখার সাপেক্ষে $(x, y)$ বিন্দুর প্রতিবিম্ব $(y, x)$ অর্থাৎ $x$ যাবে $y$ এর কাছে এবং $y$ যাবে $x$ এর কাছে।

$y = x$ রেখার সাপেক্ষে
(1) $(5, 6)$ বিন্দুর প্রতিবিম্ব কি হবে?
(2) $2 x + 3 y + 1 = 0$ সরলরেখার প্রতিবিম্ব কি হবে।

Ans.

(1) $(6, 5)$

(2) $3 x + 2 y + 1 = 0$

21. যেকোন রেখার সাপেক্ষে বিন্দুর প্রতিবিম্ব

$a x + b y + c = 0$ রেখার সাপেক্ষে $P (x_{1}, y_{1})$ বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দু $Q (x^{'}, y^{'})$ হলে,

x^{'} = x_{1} - \frac{2 a (a x_{1} + b y_{1} + c)}{a^{2} + b^{2}}

y^{'} = y_{1} - \frac{2 b (a x_{1} + b y_{1} + c)}{a^{2} + b^{2}}

22. রেখার সাপেক্ষে রেখার প্রতিবিম্ব

সমান্তরাল হলেঃ

$3 x + 4 y + 7 = 0$ রেখার সাপেক্ষে $3 x + 4 y + 2 = 0$ রেখার প্রতিবিম্ব কী হবে?

সমান্তরাল না হলেঃ

$x + 2 y - 5 = 0$ রেখার সাপেক্ষে $2 x + 3 y - 8 = 0$ রেখার প্রতিবিম্ব কি হবে?
অথবা, $x + 2 y - 7 = 0$ সরলরেখার উপর আলোকরশ্মি $2 x + 3 y - 8 = 0$ সরলরেখা বরাবর আপতিত হলে কোন সরলরেখা বরাবর প্রতিফলিত হবে?

উত্তরঃ

$(y - y_{1}) = m (x - x_{1}) \to$ এক বিন্দুগামী যে কোন সরলরেখার সমীকরণ

যেহেতু ছেদবিন্দু জানাই আছে, তাই $m_{3}$ বের করতে পারলেই কাজ শেষ।

$m_{3}$ বের করতে পারি এভাবে,

\begin{aligned} \tan θ_{1} & = \tan θ_{2} \\ \Rightarrow \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} m_{2}} & = \frac{m_{2} - m_{3}}{1 + m_{2} m_{3}} \end{aligned}

23. দূরত্ব আকার সমীকরণ

একটি নির্দিষ্ট বিন্দু ( $x_{1}$ , $y_{1}$ ) দিয়ে যায় এবং $x$ -অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $θ$ কোণ উৎপন্ন করে এমন সরলরেখার সমীকরণ

\frac{x - x_{1}}{\cos θ} = \frac{y - y_{1}}{\sin θ} = r

:::info
💡 যেখানে ( $x$ $, y$ ) বিন্দু হতে ( $x_{1}, y_{1}$ ) বিন্দুর দূরত্ব $r$
:::

আবার,
$x = x_{1} + r \cos θ$ এবং,

$y = y_{1} + r \sin θ$

সুতরাং, রেখাটির উপর যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক

(x_{1} + r \cos θ, y_{1} + r \sin θ)

24. দুটি রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে গমন কারি অন্য আরেকটি রেখার সমীকরণ

দুটি সরলরেখার ছেদবিন্দু (Intersection Point) নির্ণয় করার জন্য সরলরেখাগুলির সমীকরণগুলো একসাথে সমাধান করতে হয়। যদি দুটি সরলরেখার
সমীকরণ দেওয়া থাকে:

প্রথম রেখার সমীকরণ: $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$
দ্বিতীয় রেখার সমীকরণ: $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$

তাহলে এদের ছেদবিন্দু দিয়ে গমনকারী অপর রেখাটির সমীকরণ হবে:

\begin{array}{r} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} + k (a_{2} x + b_{2} y + c_{2}) = 0 \end{array}

ছেদবিন্দু দিয়ে এই রেখাকে সিদ্ধ করলেই $k$ এর মান পাওয়া যাবে। এরপর আবার এই সমীকরণে $k$ এর সেই মান বসিয়ে দিলেই হল।

25. ছেদবিন্দু বের করার সহজ উপায়

দুটি সরলরেখার ছেদবিন্দু নির্ণয়ের জন্য নিম্নোক্ত সূত্র ব্যবহার করা যায়, যদি রেখাদুটি সমান্তরাল না হয়:

x = \frac{b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}

y = \frac{c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}

26. কোন রেখার সমান্তরাল দিকে অপর রেখা ও একটি বিন্দুর দূরত্ব

উদাহরণঃ

$3 x - 4 y + 8 = 0$ রেখার সমান্তরাল দিকে $3 x + y + 4 = 0$ রেখা হতে $(1, 2)$ বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।

$(1, 2)$ বিন্দুগামী $3 x - 4 y + 8 = 0$ রেখার সমান্তরাল রেখা নির্ণয় করতে হবে। অতঃপর সেই রেখা ও $3 x + y + 4 = 0$ রেখা সমাধান করে Q বিন্দু নির্ণয় করতে হবে। PQ হবে নির্ণয় দূরত্ব

27. পাদত্রিভূজ সংক্রান্ত

$Δ A B C$ এর ভেতর যে $Δ D E F$ দেখা যাচ্ছে সেটাই পাদত্রিভূজ। অর্থাৎ তিনটি শীর্ষ থেকে তিনটি বিপরীত বাহুর ওপর লম্ব টানলে যে ত্রিভুজ গঠিত হয় সেটাই পাদত্রিভূজ।

এখানে, বিশেষ যে সম্পর্কটা মনে রাখতে হবে:

পাদত্রিভূজের অন্তকেন্দ্র = মূল ত্রিভূজের লম্ববিন্দু

সরলরেখা সম্পর্কিত সূত্র ও নিয়মাবলী

1. কার্টেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্ক সম্পর্কিত:

2. দূরত্ব নির্ণয় সংক্রান্ত:

3. অন্ত:বিভক্ত ও বহি:বিভক্ত সংক্রান্ত:

4. মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত:

5. ত্রিভূজের ভরকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র, অন্তকেন্দ্র, বহিকেন্দ্র সংক্রান্ত:

ভরকেন্দ্র

পরিকেন্দ্র

লম্বকেন্দ্র

অন্তকেন্দ্র

বহিকেন্দ্র

6. ক্ষেত্রফল নির্ণয় সংক্রান্ত:

ক্ষেত্রফলের দিক

7. সরলরেখার ঢাল সংক্রান্ত:

8. সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় সংক্রান্ত:

9. দুটি সরলরেখা একই অথবা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত:

10. তিনটি সরলরেখার সমবিন্দুগামী হওয়ার শর্ত:

11. দুইটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত:

12. লম্ব সরলরেখার সমীকরণ:

13. সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:

14. দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয়:

15. বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় সংক্রান্ত:

16. নির্দিষ্ট কোনো বিন্দু হতে কোনো রেখার লম্ব দূরত্ব সংক্রান্ত:

17. দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় সংক্রান্ত:

18. দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখার সমীকরণ সংক্রান্ত:

20. অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিবিম্ব নির্ণয় সঙ্ক্রান্ত:

উদাহরণ

y=x রেখার সাপেক্ষে প্রতিবিম্ব

21. যেকোন রেখার সাপেক্ষে বিন্দুর প্রতিবিম্ব

22. রেখার সাপেক্ষে রেখার প্রতিবিম্ব

সমান্তরাল হলেঃ

সমান্তরাল না হলেঃ

23. দূরত্ব আকার সমীকরণ

24. দুটি রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে গমন কারি অন্য আরেকটি রেখার সমীকরণ

25. ছেদবিন্দু বের করার সহজ উপায়

26. কোন রেখার সমান্তরাল দিকে অপর রেখা ও একটি বিন্দুর দূরত্ব

27. পাদত্রিভূজ সংক্রান্ত

$y = x$ রেখার সাপেক্ষে প্রতিবিম্ব